Das Doppelverhältnis

ist eine projektive Invariante, weil es sowohl als Eigenschaft der vier Punkte als auch als Eigenschaft der vier Strahlen angesehen werden kann. Also hängt es bei gegebenem Punktequadrupel nicht vom Strahlträger S und bei gegebenem Strahlquadrupel nicht von der schneidenden Geraden ab.

Das ist metrisch plausibel:

D[A1B1,C1D1] = (A1C1/A1D1)/(B1C1/B1D1)
= (ΔA1C1S/ΔA1D1S)/(ΔB1C1S/ΔB1D1S)
= (ΔA1C1S/ΔA1DS)/(ΔB1C1S/ΔB1DS)
= (ΔA1CS/ΔA1DS)/(ΔB1CS/ΔB1DS)
= (ΔA1CS/ΔA1DS)/(ΔBCS/ΔBDS)
= (ΔACS/ΔADS)/(ΔBCS/ΔBDS)


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