Geometrie auf projektiver Grundlage

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Es geht um die Darstellung von Konstruktionen, die im wesentlichen mit den Mitteln der projektiven Geometrie geschaffen werden. Hintergrund sind die in Einsteins Relativitätstheorie und die Geometrien der Ebene dargestellten Zusammenhänge.

Die Objekte sind Punkte, Linien und Kegelschnitte. Linien und Kegelschnitte werden errechnet. Einer der Kegelschnitte, genauer die Polarität (jeder Gerade wird der Schnittpunkt der Lote auf ihr zugeordnet und umgekehrt), ist der die Geometrie definierende absolute Kegelschnitt. Er wird durch Button im Feld Geometrie gewählt.

Zwischen der internen Ebene und dem Display ist eine Transformation geschaltet, die mit den Knöpfen shift, tip/tilt und size/turn zum Verändern freigegeben wird, was durch Schieben der gedrückten Maus auf dem Display geschieht.

Es gibt zwei Sorten Punkte: solche die per Mausclick eingegeben werden und dann auch ziehbar sind (schwarz), und solche, die sich aus einer Konstruktion ergeben und deshalb nicht isoliert gezogen werden können.

Alle Rechnungen sind eine Folge primitiver Anweisungen (Unterprogramme) wie z.B.
Linie durch zwei Punkte, Schnittpunkt zweier Linien, Kreis durch drei Punkte (im allgemeinen 4 Kreise!) usw.

Punkte (auch die berechneten), Geraden und Kegelschnitte können auf dem Display durch anclicken markiert werden. Wenn man nicht aus Versehen dabei neue Punkte erzeugen will, sollte man den Button 'no set' wählen. Im allgemeinen werden zuerst die Punkte, dann die Linien und schließlich die Kegelschnitte markiert. Je nach Kombination der Markierungen werden im Feld Optionen verschiedene Konstruktionen angeboten.

Im Feld Beispiele sind verschiedene Konstruktionsfolgen voreingestellt, die durch wiederholtes Drücken der oK-Taste aufgebaut werden und verschiedene Zusammenhänge ohne Umschweife vor Augen führen. Schwarze Punkte sind bewegbare Grundpunkte, hellgraue Punkte mit schwarzem Rand sind Handgriffe an Geraden, die mit ihnen bewegt werden können.

Die ab der vorliegenden Version (080508) implementierten Gurndkonstruktionen sind in der nebenstehenden Tabelle aufgeführt.


 
MarkierungsfolgeKonstruktionsoptionen
GeradePol am absoluten Kegelschnitt,
Schnitt mit dem abs. K.
Tangenten in den Schnittpunkten
Gerade, Conic Pol
Schnittpunkte
Tangenten in den Schnittpunkten
Spiegelung an der Geraden
Gerade, Punkt Parallele zur Geraden im Punkt
Fußpunkt der Parallelen
Spiegelung an der Geraden
2 Geraden Schnittpunkt
Winkelhalbierende
Fußpunkte dazu
Spiegelung an der ersten Geraden
3 Geraden 4 berührende Kreise
5 Geraden berührender Kegelschnitt
Punkt Polare am abs. Kegelschnitt
Tangenten an den abs. K.
Berührpunkte der Tangenten
Punkt, Conic Polare
Tangenten
Berührpunkte der Tangenten
Spiegelung am Punkt
Punkt, Gerade Lot
Fußpunkt des Lots
Spiegelung am Punkt
1 Punkt, 2 Geraden Vierte (zum Punkt) harmonische Gerade
1 Punkt, 4 Geraden 2 Kegelschnitte
2 Punkte Linie
Strahl
Strecke
Mittelpunkte
Mittelsenkrechten
Kreis
Spiegelung am ersten Punkt
2 Punkte, 1 Gerade Vierter (zur Geraden) harmonischer Punkt
Ellipse
2 Punkte, 3 Geraden 4 Kegelschnitte
3 Punkte Dreieck
innerer Umkreis
innerer Mittelpunkt
4 Umkreise
Fußpunkte mit Höhenschnittpunkt
3 Punkte, 2 Geraden 4 Kegelschnitte
4 Punkte, 1 Gerade 2 Kegelschnitte
5 Punkte Kegelschnitt




Anwendungsbeispiel

Jenseits des Unendlichen

Die projektiv-metrischen Geometrien der Ebene haben zwei besondere Eigenschaften. Sie gestatten erstens die Benutzung des Lineals, weil es geradentreue Karten dieser Geometrien gibt, und sie gestatten die Betrachtung von Krümmung auch für indefinite Maßbestimmungen, wie sie in der Relativitätstheorie verwendet werden müssen.

Alles Dreieck Feuerbach und die 16 Ankreise Rechte Winkel und Halbierung Stereographische Projektion Lobachevski-Geometrie: Spiegelung Lobachevski-Geometrie: Kreise Definition der Kreise Alle Umkreise eines Dreiecks Winkel im Unendlichen sind Null Längen auf den Tangenten sind Null DeSitter-Geometrie und Minkowski-Geometrie DeSitter-Kreise

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