Polarität und harmonische Teilung

Gegeben sind drei Punkte eines Kegelschnitts (A, B und C) und in zweien von ihnen auch die Tangenten (u und v), die sich in P schneiden. Als Schnittpunkt dieser Tangenten heißt P Pol der Geraden c=AB. Die Punkte des Kegelschnitts werden durch Geraden w durch P erzeugt, die sich mit a und b scheiden. Die Schnittpunkte E und D werden mit A und B verbunden. Diese Verbindungen schneiden sich in einem Punkt F des Kegelschnitts.

Wir legen die Gerade w so, dass sich der Punkt C selbst ergibt. Wo liegt der zweite Schnittpunkt mit dem Kegelschnitt? Er muss an einer Stelle F liegen, wo der Schnittpunkt D von AF mit a und der Schnittpunkt E von BF mit b auf einer Geraden durch P liegen. Es ergibt sich ein Viereck DEAB. FC ist eine seiner Diagonalen. Deshalb wird das Schnittpunktpaar FC der Geraden w mit dem Kegelschnitt von P und AB harmonisch geteilt.

Kapitel Portal 6 Brennpunkte