Vier Umkreise eines Dreiecks

Ist der Kreis über die Polarität definiert, hat in der allgemeinen Geometrie ein Dreieck auch vier Umkreise wie es vier Ankreise in der euklidischen Geometrie hat. Die Abbildung zeigt ein Beispiel in der Lobachevski-Geometrie

In einer metrisch-projektiven Geometrie mit reellem nichtausgearteten Kegelschnitt gibt es zu jeder Strecke 2 Mittelpunkte, die sowohl die Strecke als auch die Sekante des absoluten Kegelschnitts harmonisch teilen. Analog zu den bereits in der euklidischen Geometrie bekannten Verhältnissen bei den Winkelhalbierenden gibt es nun 4 Schnittpunkte der 3 Mittelsenkrechtenpaare und 4 Kreise durch die Dreieckspunkte.