Parallelen schneiden sich im Unendlichen

Wir suchen eine geradentreue Karte, auf der das Unendliche eine endliche Kurve ist. Besteht man auf dem Höhensatz für Dreiecke, dann erfordert dies, dass das Unendliche die Form eines Kegelschnitts hat, der hier als Kreis gewählt ist. Die dadurch entstehende Geometrie ist die nicht-euklidische Geometrie, die Gauß, Bolyai und Lobachevski gefunden haben, und die von Beltrami und Klein auch in dieser Form dargestellt worden ist.

Bezeichen wir als Parallelen bereits alle Geradenpaare, die sich im Endlichen nicht schneiden, dann gibt es durch ein Punkt Q abseits g unendlich viele Paralellen (in der Zeichnung alle Geraden durch den markierten Sektor).
Wenn wir als Parallelen nur solche Geraden bezeichnen, die sich im Unendlichen schneiden, gibt es jetzt zu jedem Punkt abseits einer Geraden genau zwei Parallelen.

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