Geometrie
ist der erste und - an der Schule - der einzige Gegenstand, an dem man die
Kraft und die Arbeitsweise der logischen Herleitung erfahren kann.
(Um dies zu verhindern, ist es unerlässlich, die Geometrie aus dem Unterrichtsplan zu streichen.)
Geometrie erschöpft sich nicht im Lesen und Lernen der Eigenschaften von
Dreiecken und Kegelschnitten. Ihr Wesen ist die logische Herleitung
all dieser Dinge aus einem bemerkenswert kleinen Satz von
Unterstellungen, die man Axiome nennt.
Im Zusammenhang mit Relativitätstheorie und Kosmologie
lernen wir, die logischen Strategien der gewohnten Geometrie zu benutzen,
um die pseudo-euklidische und die nicht-euklidische Geometrie
zu entwickeln, ohne mehr zu ändern als nur die Konstruktion einer Spiegelung.
Die pseudoeuklidische Geometrie nimmt von der Relativitätstheorie das Axiom, dass sich
die Lichtgeschwindigkeit bei Zusammensetzung mit der des bewegten Spiegels nicht ändert.
Geometrisch heißt das, dass es zwei Parallelenscharen gibt (die Registrierspuren der Lichtsignale),
die bei Spiegelungen aufeinander und auf nichts Anderes abgebildet werden.
Um das Spiegelbild eines Punktes zu erhalten, nimmt man die beiden Lichtsignalspuren (isotrope Geraden genannt)
durch diesen Punkt, reflektiert sie am Spiegel und findet das Spiegelbild des Punktes als Schnittpunkt der gespiegelten Signalspuren.
Mit dieser Spiegelungsvorschrift ist das innere Dreieck im Movie immer rechtwinklig,
wobei der feste Punkt die rechten Winkel trägt. Das Movie zeigt eine Abfolge verschiedener dort rechtwinkliger Dreiecke.
Die grünen Rhomben sind nach der neuen Spiegelungsvorschrift Quadrate, deren Flächenvergleich
a² - b² = c² ergibt.
Die Brennpunkte eines Kegelschnitts liegen nun immer außerhalb desselben.
Aus den Brennpunkten gibt es reelle Tangenten an den Kegelschnitt, und das sind isotrope Geraden (Lichtsignalspuren).
Kegelschnitte spielen eine fundamentale Rolle in den nicht-euklidischen Geometrien: eine schöne Spielwiese, wie
es Jean-Baptiste le Rond d'Alembert an Friedrich Zwo geschrieben hat: La géométrie est
une espèce de hochet que la nature nous a jeté pour nous consoler
et nous amuser dans les ténèbres.
Die vordergründigen Themen sind
das Unendliche,
die Polarität zwischen Punkten und Geraden am Kegelschnitt,
die Brennpunkte in den nicht-euklidischen Geometrien.
Abbildungen und Movies zu verschiedenen Vortägen beginnen hier.
